En Matemáticas (y en Lógica) usamos con frecuencia los símbolos ⇒ y ⇔. Tienen un significado muy preciso que conviene comprender, aunque nos lleve unos minutos. Además, su uso no puede intercambiarse con el del signo =.

Implicaciones

El símbolo «implica» ⇒ se usa de la siguiente manera y con el siguiente significado. Decir que A⇒ B (A implica B) significa que siempre que sea cierta la afirmación A, también lo es B. O sea, que si A es cierto, entonces, lo es B. Dicho de una tercera forma, si se verifica A, también se verificará B. Por ejemplo, «Si he pagado 1€ por el artículo C ⇒ Tengo 1€ menos». Esa afirmación es cierta.

Cuando A ⇒ B, B podría ser cierto aunque no lo fuese A. En el ejemplo, podría ser cierto que «tengo 1€ menos» porque he pagado 1€ por otro artículo distinto, o porque he perdido una moneda, sin que sea verdad que «he pagado 1€ por el artículo C».

Además, si es cierto que A ⇒ B, entonces, si B es falso, A también será falso (puesto que si A fuese verdadero, como A ⇒ B, B también lo sería). En el ejemplo anterior, si no tengo 1€ menos, entonces no he pagado 1€ por el artículo C (si lo hubiera hecho, tendría 1€ menos, y no es así). Por tanto, cuando A ⇒ B se tiene que: sólo si B (lo que está en el extremo de la flecha) es cierto, puede serlo A.

Y más. A ⇒ B significa que el que se verifique A es condición suficiente para que sea cierto B. Y que B (lo que está en el extremo de la flecha) sea cierto, es condición necesaria para que lo sea A (recordar que si B es falso no puede ser cierto A)

En la práctica, se suele usar sólo la escritura A ⇒ B, que aclara más la dirección (si A es cierto, entonces lo es B) sin detenerse en pensar quien es necesario o suficiente.

Por otra parte, en ningún caso se puede utilizar el símbolo ⇒ (implica) en lugar de = (igual a). Decir que 4 + 2 ⇒ 6 significa que siempre que sea cierto 4 +2 lo será 6. Esa frase no tiene sentido, porque 4 + 2 no puede ser cierto ni falso. Y lo mismo ocurre con 6. Y, además, nada se dice de la relación del resultado de la operación 4 + 2 con el número 6.

Equivalencias

A ⇔ B significa que «A es equivalente a B«. Es decir, que A ⇒ B y que B ⇒ A. Por ello, a la equivalencia se le llama también doble implicación.Y por todo lo dicho antes, A y B son ciertas o falsas a la vez.

También, por todo lo anterior, A ⇒ B puede leerse como «si A es cierto, lo es B«. Y B ⇒ A expresa que «sólo si A es cierto, puede serlo B«. Por tanto, la equivalencia o doble implicación A ⇔ B se expresa a menudo con la frase: «A es cierto si, y sólo si lo es B«.

También hemos dicho que A ⇒ B significa que A es suficiente para que se verifique B. Y que B ⇒ A significa que A es necesaria para que se verifique B. Es por ello que A ⇔ B también se suele expresar como «A es condición necesaria y suficiente para que se verifique B«. O que «B es condición necesaria y suficiente para que lo sea A«.

Por ejemplo, «dos rectas son perpendiculares si y sólo si se cortan formando 4 ángulos idénticos». Significa que «dos rectas son perpendiculares» ⇒ «se cortan formando 4 ángulos idénticos» (de 90º cada uno de ellos) y, a la vez, que «si dos rectas se cortan formando 4 ángulos idénticos» ⇒ «son perpendiculares» (porque los 4 ángulos medirían, cada uno de ellos, 360º/4 = 90º).